Kalman    Filtering,    350
10.1     Introduction,    350
10.1.1     What    Is    a    Kalman    Filter?,    351
10.1.2     How    Does    It    Work?,    352
10.1.2.1     Prediction    and    Correction,    353
10.1.3     How    Is    It    Used?,    353
10.2     Kalman    Filter    Correction    Update,    354
10.2.1     Deriving    the    Kalman    Gain,    354
10.2.1.1     Approaches    to    Deriving    the    Kalman    Gain,    355
10.2.1.2     Gaussian    Probability    Density    Functions,    355
10.2.1.3     Properties    of    Likelihood    Functions,    356
10.2.1.4     Solving    for    Combined    Information    Matrix,    358
10.2.1.5     Solving    for    Combined    Argmax,    359
10.2.1.6     Noisy    Measurement    Likelihoods,    360
10.2.1.7     Gaussian    Maximum-Likelihood    Estimate
(MLE),    362
10.2.1.8     Estimate    Correction,    364
10.2.1.9     Kalman    Gain    Matrix    for    MLE,    364
10.2.2     Estimate    Correction    Using    the    Kalman    Gain,    364
10.2.3     Covariance    Correction    for    Using    Measurements,    365
10.3     Kalman    Filter    Prediction    Update,    365
10.3.1     Stochastic    Systems    in    Continuous    Time,    365
10.3.1.1     White-Noise    Processes,    365
10.3.1.2     Stochastic    Differential    Equations,    365
xx     CONTENTS
10.3.1.3     Systems    of    First-Order    Linear    Differential
Equations,    367
10.3.1.4     Representation    in    Terms    of    Vectors   
and    Matrices,    368
10.3.1.5     Eigenvalues    of    Dynamic   
Coefficient    Matrices,    369
10.3.1.6     Matrix    Exponential    Function,    371
10.3.1.7     Forward    Solution,    371
10.3.1.8     Time-Invariant    Systems,    371
10.3.2     Stochastic    Systems    in    Discrete    Time,    372
10.3.2.1     Zero-Mean    White    Gaussian   
Noise    Sequences,    372
10.3.2.2     Gaussian    Linear    Stochastic    Processes    in
Discrete    Time,    372
10.3.3     State    Space    Models    for    Discrete    Time,    373
10.3.4     Dynamic    Disturbance    Noise   
Distribution    Matrices,    374
10.3.5     Predictor    Equations,    374
10.4     Summary    of    Kalman    Filter    Equations,    375
10.4.1     Essential    Equations,    375
10.4.2     Common    Terminology,    375
10.4.3     Data    Flow    Diagrams,    376
10.5     Accommodating    Time-Correlated    Noise,    377
10.5.1     Correlated    Noise    Models,    378
10.5.1.1     Autocovariance    Functions,    378
10.5.1.2     Random    Walks,    378
10.5.1.3     Exponentially    Correlated    Noise,    379
10.5.1.4     Harmonic    Noise,    379
10.5.1.5     Selective    Availability    (SA),    379
10.5.1.6     Slow    Variables,    380
10.5.2     Empirical    Modeling    of    Sensor    Noise,    380
10.5.2.1     Spectral    Characterization,    381
10.5.2.2     Shaping    Filters,    381
10.5.3     State    Vector    Augmentation,    382
10.5.3.1     Correlated    Dynamic    Disturbance    Noise,    382
10.5.3.2     Correlated    Sensor    Noise,    383
10.5.3.3     Correlated    Noise    in    Continuous    Time,    383
10.6     Nonlinear    and    Adaptive    Implementations,    384
10.6.1     Assessing    Linear    Approximation    Errors,    384
10.6.1.1     Statistical    Measures    of    Acceptability,    384
10.6.1.2     Sampling    for    Acceptability    Testing,    385
10.6.2     Nonlinear    Dynamics,    390
10.6.2.1     Nonlinear    Dynamics    with    Control,    390
10.6.2.2     Propagating    Estimates,    390
10.6.2.3     Propagating    Covariances,    390
CONTENTS     xxi
10.6.3     Nonlinear    Sensors,    391
10.6.3.1     Predicted    Sensor    Outputs,    391
10.6.3.2     Calculating    Kalman    Gains,    391
10.6.4     Linearized    Kalman    Filter,    391
10.6.5     Extended    Kalman    Filtering    (EFK),    392
10.6.6     Adaptive    Kalman    Filtering,    393
10.7     Kalman–Bucy    Filter,    395
10.7.1     Implementation    Equations,    395
10.7.2     Kalman–Bucy    Filter    Parameters,    396
10.8     Host    Vehicle    Tracking    Filters    for    GNSS,    397
10.8.1     Vehicle    Tracking    Filters,    397
10.8.2     Dynamic    Dilution    of    Information,    397
10.8.2.1     Effect    on    Position    Uncertainty,    398
10.8.3     Specialized    Host    Vehicle    Tracking    Filters,    399
10.8.3.1     Unknown    Constant    Tracking    Model,    401
10.8.3.2     Damped    Harmonic    Resonator,    401
10.8.3.3     Type    2    Tracking    Model,    402
10.8.3.4     DAMP1    Tracking    Model:    Velocity    Damping,    403
10.8.3.5     DAMP2    Tracking    Model:    Velocity    and
Acceleration    Damping,    403
10.8.3.6     DAMP3    Tracking    Model:    Position,    Velocity,    and
Acceleration    Damping,    405
10.8.3.7     Tracking    Models    for    Highly    Constrained
Trajectories,    408
10.8.3.8     Filters    for    Spacecraft,    409
10.8.3.9     Other    Specialized    Vehicle    Filter    Models,    409
10.8.3.10     Filters    for    Different    Host    Vehicle    Types,    409
10.8.3.11     Parameters    for    Vehicle    Dynamics,    409
10.8.3.12     Empirical    Modeling    of    Vehicle    Dynamics,    409
10.8.4     Vehicle    Tracking    Filter    Comparison,    411
10.8.4.1     Simulated    Trajectory,    411
10.8.4.2     Results,    412
10.8.4.3     Model    Dimension    versus   
Model    Constraints,    412
10.8.4.4     Role    of    Model    Fidelity,    413
10.9     Alternative    Implementations,    413
10.9.1     Schmidt–Kalman    Suboptimal    Filtering,    413
10.9.1.1     State    Vector    Partitioning,    414
10.9.1.2     Implementation    Equations,    414
10.9.1.3     Simulated    Performance    in    GNSS   
Position    Estimation,    415
10.9.2     Serial    Measurement    Processing,    416
10.9.2.1     Measurement    Decorrelation,    416
10.9.2.2     Serial    Processing    of    Decorrelated
Measurements,    417
xxii     CONTENTS
10.9.3     Improving    Numerical    Stability,    417
10.9.3.1     Effects    of    Finite    Precision,    417
10.9.3.2     Alternative    Implementations,    418
10.9.3.3     Conditioning    and    Scaling    Considerations,    419
10.9.4     Kalman    Filter    Monitoring,    421
10.9.4.1     Rejecting    Anomalous    Sensor    Data,    421
10.9.4.2     Monitoring    Filter    Health,    423
10.10     Summary,    425
Problems,    426
References,    428